Cálculo diferencial

Prefacio
Introducción

Parte l
Números reales, funciones y límites

1. Números reales

1.1. Clasificación de los números reales. Entre contar y medir
1.1.1. Propiedades de los números reales
1.1.2. Operaciones con racionales e irracionales
1.1.3. La división por cero en los racionales
1.1.4. Los números reales como sucesiones

1.2. Interpretación geométrica de los números reales
1.2.1. Recta numérica
1.2.2. Concepto de intervalo

1.3. Desigualdades lineales y cuadráticas. Propiedades
1.3.1. Noción de orden
1.3.2. Noción de desigualdad
1.3.3. Propiedades de las desigualdades
1.3.4. Solución de desigualdades de primer orden
1.3.5. Desigualdades de segundo orden y desigualdades que contienen cocientes

1.4. Valor absoluto y sus propiedades
1.4.1. Concepto de valor absoluto y propiedades
1.4.2. Solución de desigualdades con valor absoluto

2. Funciones

2.1. Definición de función
2.1.1. ¿Qué son las variables?
2.1.2. Variación

2.2. Representación de funciones: tablas, gráficas, fórmulas y palabras
2.2.1. Variabilidad
2.2.2. La función como la relación de dependencia entre cantidades variables
2.2.3. La función desde el punto de vista de la teoría de conjuntos (opcional)
2.2.4. Dominio y rango de una función
2.2.5. Representación de una función como una tabla de valores
2.2.6. Variable biscuta y variable continua
2.2.7. La función como una fórmula
2.2.8. Las funciones como expresiones analíticas

2.3. Clasificación de las funciones por su naturaleza: algebraicas y trascendentes
2.3.1. Función explícita y función implícita
2.3.2. Funciones algebraicas
2.3.3. Funciones trascendentes
2.3.4. Gráficas de funciones y sus propiedades

2.4. Aritmética de las funciones
2.4.1. Operaciones con funciones: suma, resta, producto y cociente
2.4.2. Composición de funciones
2.4.3. Funciones inversas

2.5. Gráfica de funciones trascendentes
2.5.1. Funciones escalonadas
2.5.2. Gráfica de funciones trigonométricas
2.5.3. Efectos a la función y = a sen(bx - c)

2.6. Funciones trigonométricas inversas
2.6.1. Inversa de la función tangente
2.6.2. Inversa de la función seno

2.7. Sistemas orgánicos. Gráficas y propiedades de las funciones exponencial y logarítmica
2.7.1. Gráfica de la función exponencial
2.7.2. La función logaritmo y sus propiedades

3. Límites y continuidad

3.1. Definición de límite
3.1.1. Límite de una sucesión
3.1.2. Límite de una función

3.2. La existencia del límite de una función
3.3. El límite como una tolerancia
3.4. La definición formal del concepto de límite
3.4.1. Versión corta

3.5. Propiedades de los límites
3.5.1. Cálculo de límites de fórmulas irracionales

3.6. Continuidad de funciones en un punto
3.6.1. Discontinuidad removible
3.6.2. Discontinuidad no removible
3.6.3. Discontinuidad de salto

3.7. Límites al infinito
3.7.1. Discontinuidad al infinito
3.7.2. Límites infinitos, funciones racionales y discontinuidad
3.7.3. Asíntotas oblicuas y asíntotas curvas
3.7.4. Límites especiales

Parte II
Derivadas, aplicaciones de la derivada, series y sucesiones

4. Derivación

4.1. Definición de la derivada
4.1.1. Desarrollos binomiales
4.1.2. Ecuación de variaciones
4.1.3. Estudio de la primera variación. Derivación por incrementos
4.1.4. Fórmulas básicas
4.1.5. Derivada de las funciones suma, producto, cociente y composición
4.1.6. Derivación y continuidad

4.2. Derivación de las funciones trigonométricas, logarítmica, exponencial y trigonométricas inversas 4.2.1. Derivación implícita

4.3. Primeros significados de la derivada
4.3.1. Interpretación geométrica de la derivada
4.3.2. Los conceptos de diferencia, diferencial y derivada

5. Aplicaciones de la derivada

5.1. La derivada como razón de cambio
5.2. Posición, velocidad y aceleración. Tiro parabólico
5.3. La regla de L'Hôpital

5.4. Máximos y mínimos
5.4.1. La derivada como modelo de optimización
5.4.2. Multiplicadores de Lagrange (opcional)

5.5. Análisis y variación de funciones
5.5.1. Máximos y mínimos
5.5.2. El teorema de Rolle
5.5.3. El teorema del valor medio
5.5.4. Definición de punto de inflexión de una curva
5.5.5. Análisis de la variación de funciones usando los criterios de las tres primeras derivadas

6. Series y sucesiones

6.1. Series de potencias
6.1.1. Primera condición necesaria de convergencia

6.2. Serie de MacLaurin
6.2.1. Segunda condición suficiente de convergencia de D' Alembert
6.2.2. Método de la división para determinar los desarrollos de fun¬ciones trigonométricas: tangente, cotangente, secante, cosecante e inversas
6.2.3. Intervalos de convergencia de derivadas racionales

6.3. Serie de Taylor y su convergencia
6.3.1. Demostraci6n de la proporci6n [5-10]

Apéndice
Solucionarlo
Índice de términos